Widerspruchsfreiheit

Widerspruchsfreiheit,

 

Konsistẹnz, mathematische Logik: eine Eigenschaft einer Menge X von Ausdrücken einer mathematischen Theorie; X heißt semantisch oder inhaltlich widerspruchsfrei, falls jeder aus X beweisbare Ausdruck allgemein gültig ist, syntaktisch oder formal widerspruchsfrei, falls wenigstens ein in X gebildeter Ausdruck existiert, der nicht in X beweisbar ist, und klassisch widerspruchsfrei, falls aus X kein Ausdruck zusammen mit seiner Verneinung beweisbar ist. Unter schwachen Voraussetzungen über X und die verwendeten Schlussregeln sind syntaktische und klassische Widerspruchsfreiheit äquivalent. Die semantische Widerspruchsfreiheit impliziert die syntaktische und klassische Widerspruchsfreiheit, die Umkehrung hiervon gilt nur unter starken zusätzlichen Voraussetzungen, sodass die klassische Widerspruchsfreiheit nicht hinreichend dafür ist, dass keine falschen Aussagen ableitbar sind. Für vergleichende Untersuchungen mathematischer Theorien ist der Begriff der relativen Widerspruchsfreiheit von Bedeutung: Eine Theorie S heißt relativ widerspruchsfrei bezüglich einer Theorie T, falls aus der Widerspruchsfreiheit von T die Widerspruchsfreiheit von S folgt. Z. B. ist die Arithmetik der reellen Zahlen relativ widerspruchsfrei bezüglich der analytischen Geometrie und umgekehrt, und ebenso ist die Axiomatisierung der Mengenlehre nach E. F. F. Zermelo, A. A. Fraenkel und A. T. Skolem relativ widerspruchsfrei bezüglich der nach P. Bernays und K. Gödel und umgekehrt.